Математичні формули

ФОРМУЛЫ АРИФМЕТИКИ:

  • Законы действий над числами
  • Некоторые математические обозначения
  • Признаки делимости натуральных чисел
  • Модуль
  • Действия с дробями
  • Пропорции
  • Средние величины
  • Некоторые конечные числовые ряды

ФОРМУЛЫ АЛГЕБРЫ:

  • Тождественные преобразования
  • Тригонометрические формулы
  • Прогрессии
  • Производная
  • Логарифмы
  • Координаты и векторы
  • Комбинаторика и бином Ньютона
  • Пределы
  • Интегралы

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ:

  • Планиметрия
  • Стереометрия

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ:

Законы действий над числами
Переместительный закон сложения: a + b = b + a.
Сочетательный закон сложения: (a + b) + с = a + (b + c).
Переместительный закон умножения: ab = ba.
Сочетательный закон умножения: (ab)с = a(bc).
Распределительный закон умножения относительно сложения: (a + b)с = aс + bс.
Распределительный закон умножения относительно вычитания: (a — b)с = aс — bс.

НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ:

математические сокращения

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

   

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА «2»

Число, делящееся на «2» без остатка называется чётным, не делящееся – нечётным. Число делится на «2» без остатка, если его последняя цифра чётная (2, 4, 6, 8) или ноль

Признаки делимости на «4»

Число делится на «4» без остатка, если две последние его цифры нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «4»

Признаки делимости на «8»

Число делится на «8» без остатка, если три последние его цифры нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «8» (пример: 1 000 — три последние цифры «00», а при делении 1 000 на 8 получается 125; 104 — две последние цифры «12» делятся на 4, а при делении 112 на 4 получается 28; и.т.д.)

Признаки делимости на «3» и на «9»

Без остатка на «3» делятся только те числа, у которых сумма цифр делится без остатка на «3»; на «9» — только те, у которых сумма цифр делится без остатка на «9»

Признаки делимости на «5»

Без остатка на «5» делятся числа, последняя цифра которых «0» или «5»

Признаки делимости на «25»

Без остатка на «25» делятся числа, две последние цифры которых нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «25» (т.е. числа, оканчивающиеся на «00», «25», «50», «75»

Признаки делимости на «10», «100» и на «1 000»

Без остатка на «10» делятся только те числа, последняя цифра которых ноль, на «100» — только те числа, у которых две последние цифры нули, на «1000» — только те числа, у которых три последние цифры нули

Признаки делимости на «11»

Без остатка на «11» делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на «11»
   

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА — ФОРМУЛЫ (МОДУЛЬ)

 |a| ? 0, причём |a| = 0 только если a = 0; |-a|=|a||a2|=|a|2=a2 |ab|=|a|*|b| |a/b|=|a|/|b|, причём b ? 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b| 
 

ФОРМУЛЫ ДЕЙСТВИЯ С ДРОБЯМИ

Формула обращения конечной десятичной дроби в рациональную дробь:

ПРОПОРЦИИ

<span «>Два равных отношения образуют пропорцию:
Основное свойство пропорции
ad = bc

Нахождение членов пропорции

Пропорции, равносильные пропорции  :  
Производная пропорция — следствие данной пропорции
в виде

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Среднее арифметическое

   
Двух величин:
n величин:

 

Среднее геометрическое (среднее пропорциональное)

  Двух величин:
n величин:
 
 

Среднее квадратичное

  Двух величин:
n величин:
 
 

Среднее гармоническое

  Двух величин:
n величин:

НЕКОТОРЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

  • ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

    • СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ

    • рис1

    • Свойства арифметических корней

      Для любых натуральных n и k, больших 1, и любых неотрицательных a и b верны равенства:рис2
    • МНОГОЧЛЕНЫ

    Для любых a, b и c верны равенства:
hbc3

Свойства числовых неравенств

1) Если a < b, то при любом ca + с < b + с.
2) Если a < b и c > 0, то aс < bс.
3) Если a < b и c < 0, то aс > bс.
4) Если a < ba и b одного знака, то 1/a > 1/b.
5) Если a < b и c < d, то a + с < b + da — d < b — c.
6) Если a < bc < da > 0b > 0c > 0d > 0, то ac < bd.
7) Если a < ba > 0b > 0, то 
8) Если , то 

    • СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ АРГУМЕНТА


рис4








Формулы сложения:

    • рис5


Формулы двойного аргумента:

    •  рис6

      ФОРМУЛЫ ТРОЙНОГО АРГУМЕНТА:

рис7
    • Формулы половинного аргумента:

      рис8


    • Формулы третьей и четвертой степени:


    •  рис8рис9

    • Формулы преобразования суммы в произведение: 


    • рис10

    • Формулы преобразования произведения в сумму: 


    • рис11

    • Формула приведения для преобразования выражений вида 


    • рис12


    • а) перед приведенной функцией ставиться тот знак, который имеет исход

    • ная функция;


    • рис13


    • б) функция меняется на «кофункцию», если n нечетно; функция не меняется, если n четно. (Кофункциями синуса, косинуса, тангенса и котангенса называются соответственно косинус, синус, котангенс и тангенс.) Например:

рис14


ФОРМУЛЫ НАХОЖДЕНИЯ УГЛА: 

Тригонометрические уравнения 

    • рис15













    • рис16



ЕДИНИЧНАЯ ОКРУЖНОСТЬ:

    •  

  • ФОРМУЛЫ ПРОГРЕССИИ:

    • Арифметическая прогрессия

    • (a1 – первый член; d – разность; n – число членов; an – n-й член; Sn – сумма n первых членов):
      рис17

      Геометрическая прогрессия

    • (b1 – первый член; q – знаменатель; n – число членов; bn – n-й член; Sn – сумма n первых членов, S – сумма бесконечной геом. прогрессии):
      рис 18

    Производная

      ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ:

    • рис19

        ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ:

      • Если функция f имеет производную в точке xo, а функция g имеет производную в точке yo = f(xo), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке xo, причем:
        рис20

        ПРОИЗВОДНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ:

      • рис21

        ПРОИЗВОДНАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ:

      • рис22

        УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ:

      • рис23
      • Механический смысл производной:
      • 1) v(t) = x'(t);

      • 2) a = v'(t).
      • Геометрический смысл производной:


        Логарифмы:

  •  рис24
  • Координаты и векторы
    1. Расстояние между точками A1(x1;y1) и A2(x2;y2) находится по формуле:
    рис27
    2. Координаты (x;y) середины отрезка с концами A1(x1;y1) и A2(x2;y2) находится по формулам:
    рис28
    3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой имеет вид:
    y = kx + q.
    Угловой коэффициент k представляет собой значение тангенса угла, образуемого прямой с положительным направлением оси Ox, а начальная ордината q – значение ординаты точки пересечения прямой с осью Oy.
    4. Общее уравнение прямой имеет вид: ax + by + c = 0.
    5. Уравнения прямых, параллельных соответственно осям Oy и Ox, имеют вид:
    ax + by + c = 0.
    6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых y1=kx1+q1 и y2=kx2+q2 соответственно имеют вид:
    рис29
    7. Уравнения окружностей с радиусом R и с центром соответственно в точках O(0;0) и C(xo;yo) имеют вид:
    рис30 8. Уравнение: рис31
    представляет собой уравнение параболы с вершиной в точке, абсцисса которой рис32
  • Прямоугольная декартова система координат в пространстве
    1. Расстояние между точками A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находится по формуле:
    рис33
    2. Координаты (x;y;z) середины отрезка с концами A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находятся по формулам:
    рис34
    3. Модуль вектора рис35 заданного своими координатами, находится по формуле:
    рис36
    4. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. справедливы формулы:
    рис37
    5. Единичный вектор рис38 сонаправленный с вектором рис39 находится по формуле:
    рис40
    6. Скалярным произведением рис41 векторов рис42называется число:
    рис43
    где рис44 — угол между векторами.
    7. Скалярное произведение векторов
    рис45
    8. Косинус угла между векторами рис46 и рис47 находится по формуле:
    рис48 9. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов рис49 и рис50 имеет вид: рис51
    10. Общее уравнение плоскости, перпендикулярной вектору рис52 имеет вид:
    ax + by + cz + d = 0.
    11. Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору рис53 и проходящей через точку (xo;yo;zo), имеет вид:
    a(x — xo) + b(y — yo) + c(z — zo) = 0.
    12. Уравнение сферы с центром O(0;0;0) записывается в виде:
    рис54
  • Комбинаторика и бином Ньютона
    1) Число перестановок из n элементов находится по формуле:
    рис55
    2) Число размещений из n элементов по m находится по формуле:
    рис56
    3) Число сочетаний из n элементов по m находится по формуле:
    рис57
    4) Справедливы следующие свойства сочетаний:
    рис58
    5) Формула бинома Ньютона имеет вид:
    рис59
    Сумма показателей чисел a и b равна n.
    6) (k+1)-й член находится по формуле:
    рис60
    7) Число сочетаний рис61 также можно найти по треугольнику Паскаля.
    Треугольник Паскаля (до n=7):
    рис62
    8) Сумма биномиальных коэффициентов равна 2n.
    9) Чтобы найти биномиальный коэффициент следующего члена, нужно биномиальный коэффициент предыдущего члена умножить на показатель числа a и разделить на кол-во предыдущих членов.

  • Пределы

    •  рис63 рис64 

  • Теоремы о пределах

    • рис65

      Замечательные пределы

    рис66








Неопределенные интегралы

  •  рис67
  • рис68
  • рис69
  • рис70
  • рис70
  • рис71
  • рис71
  • рис72
  • рис73

Геометрия

    • Планиметрия

    • 1. Произвольный треугольник:

    • Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис. (a,b,c – стороны:  — противолежащие им углы; p – полупериметр; R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности; S – площадь; ha – высота, проведенная к стороне a):

    •  2. Прямоугольный треугольник:
      Центр описанной окружности совпадает с центром гипотенузы. (a,b – катеты; c – гипотенуза; ac, bc – проекции катетов на гипотенузу):
       

    • 3. Равносторонний треугольник:
      Медиана = биссектрисе. OR = Or.
       

    • 4. Произвольный выпуклый четырехугольник
      (d1 и d2 – диагонали;  – угол между ними; S — площадь):
       

    • 5. Параллелограмм
      (a и b – смежные стороны;  – угол между ними; ha – высота, проведенная к стороне a):
       

    • 6. Ромб:
      В любой ромб можно вписать окружность.

    •  7. Прямоугольник:
      Около любого прямоугольника можно описать окружность.

    •  8. Квадрат
      (d – диагональ):
       

    • 9. Трапеция
      (a и b – основания; h – расстояние между ними; l – средняя линия):

    •  10. Описанный многоугольник
      (p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности):
      S = pr. 

    • 11. Правильный многоугольник
      (an – сторона правильного n-угольника; R – радиус описанной окружности; r – радиус вписанной окружности):
       

    • 12. Окружность, круг
      (r — радиус; C – длина окружности; S – площадь круга):
       

    • 13. Сектор
      (l – длина дуги, ограничивающей сектор;  — градусная мера центрального угла;  — радианная мера центрального угла):

  • Стереометрия

1. Произвольная призма

  • (l – боковое ребро; P – периметр основания; S – площадь основания; H – высота; Pсеч – периметр перпендикулярного сечения; Sбок – площадь боковой поверхности; V — объем):
     
  • 2. Прямая призма:  

  • 3. Прямоугольный параллелепипед
    (a,b,c – его измерения; V — диагональ):

  •  4. Куб
    (a — ребро):
     

  • 5. Произвольная пирамида
    (S – площадь основания; H – высота; V — объем):

  •  6. Правильная пирамида
    (P – периметр основания; l – апофема; Sбок – площадь боковой поверхности):

  •  7. Произвольная усеченная пирамида
    (S1 и S1 – площади оснований; h – высота; V — объем):

  •  8. Правильная усеченная пирамида
    (P1 и P2 – периметры оснований; l – апофема; Sбок – площадь боковой поверхности):
     

  • 9. Цилиндр
    (R – радиус основания; H – высота; Sбок – площадь боковой поверхности; V — объем):
     

  • 10. Конус
    (R – радиус основания; H – высота; l – образующая; Sбок – площадь боковой поверхности; V — объем):
     

  • 11. Шар, сфера
    (R – радиус шара; S – площадь сферической поверхности; V — объем):

  •  12. Шаровой сегмент
    (R – радиус шара; h – высота сегмента; S – площадь сферической поверхности сегмента; V — объем):
     

  • 13. Шаровой сектор
    (R – радиус шара; h – высота сегмента; V — объем):

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Методика формування вибірки у ході соціологічного дослідження.

Соціологічне дослідження – система логічно послідовних методологічних, методичних та організаційно-технічних процедур, для отримання науков...